効率的なa-pointとa-line（3）
2か月ほど前に私は、「連載になっているものは今月中に完結させる」とか何とか息巻いていたようなのですが、それから今まで、完結したものは一つもありませんでした。
それは少しまずいかもしれないので、こんどこそ完結させていきたいと思います。
というわけで、「前回はいつ何を書いたのか」すら忘れていそうな内容のものから。
□ 連結方法についての考察
（1）まず最も原始的な方法が、単純にa-pointどうしを一般a-lineで直接連結するというもの。
これのメリットは、全てのa-pointからa-pointへの連絡が最短で結ばれるということである。
いくつa-pointが存在しても、どのような連絡についても、必要となるa-lineの本数は1本で済む。
いっぽう、この方法のデメリットは、多数の一般a-lineが必要となる点である。また、全てのa-pointに向けてa-lineを接続しなければならないので、a-pointの負荷が高い。そして、新たにa-pointを設定する場合には、全てのa-pointにおいてa-lineの接続を要するというのも、非常に手間である。
整理すれば、ｎ個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は｛ｎ*（ｎ-1）/2｝本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、（ｎ-1）本である。たとえば、100個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は4950本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、99本である。これでは、多数のa-pointが設定されているような場面では、現実的ではない。
また、任意のa-point間の連絡に必要なa-lineの本数は1であり、任意のa-point間の連絡に必要な経由a-pointの数は0である。これは、考えられるすべての方法のなかで、理論的に最小である。
（2）つぎに、この次に原始的な方法が、ターミナル的なa-pointを1つだけ用意して、すべてのa-pointをそこに接続させる、というものである。ここでは便宜上、ターミナル的なa-pointをＴと呼ぶ。
これのメリットは、さきの単純な方法よりも、一般a-lineの本数が少なく済むということである。また、Ｔ以外のa-pointからはＴにだけ接続すればいいので、a-pointの負荷も低い。新たにa-pointを設定する場合にも、Ｔへの連結だけで済むので、手間なく設定させることができる。
デメリットは、すべての（Ｔ以外の）a-pointからの連結がＴに集中するので、Ｔの負荷が高いことである。
整理すれば、ｎ個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は（ｎ-1）本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、Ｔにおいては（ｎ-1）本、Ｔ以外においては1本である。たとえば、100個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は99本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、Ｔにおいては99本、Ｔ以外においては1本である。
また、100個のa-pointが存在する場面では、任意のa-point間の連絡に必要なa-lineの本数はほぼ2であり、任意のa-point間の連絡に必要な経由a-pointの数はほぼ1である*1。
（3）さらに、やや原始的な方法として、Ｔを2つ（ないしそれ以上）用意するというものがある。このときにまず考えられる方法が、あるＴとそれに連結しているa-pointとをまとめてグループ化するというものである。この結果、グループ内では（2）のようにすべてのa-pointがＴと接続され、グループ間では（1）のようにすべてのＴが一般a-lineで直接連結される。
これのメリットは、Ｔを一つだけ用意する方法よりも、一般a-lineの本数が少なく済むということである。また、Ｔ以外のa-pointからの連結が一つのＴに集中することがないので、Ｔの負荷を低く抑えることができる。
デメリットは、Ｔどうしを連結する一般a-lineに連絡の負荷が高くなること、および他の方法と比較して経由すべきa-pointの数が多くなることである。
Ｔを4つ用意する場合について整理すれば、ｎ個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は（ｎ＋2）本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、Ｔにおいては（ｎ/4＋2）本、Ｔ以外においては1本である。たとえば、100個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は102本であり、1個のa-pointから接続されている一般a-lineの本数は、Ｔにおいては27本、Ｔ以外においては1本である。
また、任意のa-point間の連絡に必要なa-lineの本数はおよそ2.75であり、任意のa-point間の連絡に必要な経由a-pointの数はおよそ1.75である。
（4）また、（3）を発展させて、グループ内のみにおいては（1）のようにすべてのa-pointが一般a-lineで直接連結する、という方法も考えられる。あたかも航空機路線のように、国内線は空港どうしを直接つなぎ、国際線は国際ハブ空港（これがＴに相当する）を経由してすべての空港どうしがつながっている、というものである。方針としては、（2）や（3）の方法ではＴ以外のa-pointで不必要に連結負荷が低かったのを利用して、経由数を減少させようというものである。
これのメリットは、（3）の方法よりも、連絡に必要な経由a-pointやa-lineの数を減少することができるというものであり、（3）の方法に（1）のメリットを一部加味させたものであるといえる。
デメリットは、（3）の方法よりも、一般a-lineの本数が多くなり、a-pointの連結負荷が高くなり、そして新規にa-pointを設定する手間がかかる、というものである。結局、（3）の方法に（1）のデメリットが一部入ってしまったものであるといえる。
Ｔを4つ用意する場合について整理すれば、ｎ個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は｛ｎ/8*（ｎ-4）＋6｝本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、Ｔにおいては（ｎ/4＋2）本、Ｔ以外においては（ｎ/4-1）本である。たとえば、100個のa-pointが存在すれば、全体で必要となるa-lineの本数は1206本であり、1個のa-pointから接続されているa-lineの本数は、Ｔにおいては27本、Ｔ以外においては24本である。
また、任意のa-point間の連絡に必要なa-lineの本数はおよそ2.5であり、任意のa-point間の連絡に必要な経由a-pointの数はおよそ1.5である。
（5）次の問題は、現実の場面において、連結方法についての最適解を発見することである。その際に重要となるのは、重点的なa-pointと、特殊a-lineである。
現実に連絡が進行すれば、a-point間の連絡の量が等価ではなくなる。連絡の量が多いa-pointや、連絡の量が多いa-line（特殊a-line）が存在するのである。効率的な連結方法を考えるためには、このような連絡量の差を考慮することが必要である。
